Родился 15 сентября 1910 года в селе Рожнев Лог (ныне – Ребрихинского района Алтайского края). Русский.
С 16 января 1933 года работал каменщиком-огнеупорщиком в цехе ремонта металлургических печей на Кузнецком металлургическом комбинате (КМК) в городе Сталинск (с 1961 года – Новокузнецк) Западно-Сибирского края (в 1937-1943 годах – Новосибирской, с 1943 года – Кемеровской области). В 1933-1936 годах служил в Красной Армии.
После увольнения из РККА вернулся на КМК на прежнее место. В сентябре 1941 – августе 1946 – вновь в Красной Армии. Участник Великой Отечественной войны.
Демобилизовавшись из Красной Армии, в августе 1946 года вернулся на КМК. За свою многолетнюю работу в цехе обучил профессии каменщика-огнеупорщика более пятидесяти человек. На протяжении многих лет при высоком качестве кладки выполнил нормы на 135-170 процентов.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 19 июля 1958 года за выдающиеся успехи, достигнутые в деле развития чёрной металлургии, Ефимову Александру Борисовичу присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и золотой медали «Серп и Молот».
С 1961 года – на пенсии.
Жил в Новокузнецке. Умер не позднее 1985 года.
Награждён орденом Ленина (19.07.1958), медалями, в том числе «За трудовое отличие» (1951).