Родился  5 октября 1921 года в селе Куликовка ныне Тисульского района Кемеровской области  в крестьянской семье. Русский. В 1922 году его семья переехала в Красноярский край, где  жила  в Курагинском районе  в селе Курское, затем в деревнях Малая и Большая Ирба, с 1936 года – в селе Грязнуха (ныне – Уральское). Окончил 5 классов.  После смерти отца в 1934 году начал трудиться в колхозе «Москва». Работал пахарем, убирал хлеб на конной жатке.  Призван в армию в ноябре 1939 года Курагинским  райвоенкоматом.  Служил на Дальнем Востоке.

Во время Великой Отечественной войны в действующей армии – с июня 1941 года (по другим данным, с апреля 1942 года). Воевал на Западном фронте.  В октябре 1942 года был ранен. После излечения прошел курс обучения на механика-водителя танка Т-34.  Вновь в действующей армии – с 1 июня 1944 года. Сражался на 1-м Белорусском фронте в 51-й (с 20 ноября 1944 года – 47-й гвардейской) танковой бригаде 3-го (с 20 ноября 1944 года – 9-го гвардейского) танкового корпуса.

Особо отличился в Варшавско-Познанской наступательной операции на территории Польши.

В ходе уличных боев в городе Сохачев 17 января 1945 года его танк был подбит. Будучи раненым, снял пулемёт с горящего танка и сражался с окружившими его врагами до последнего патрона, охраняя боевую машину и тело убитого командира. Подорвал себя гранатой, предпочтя смерть плену.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 27 февраля 1945 года за мужество и героизм, проявленные в Варшавско-Познанской операции, Бочкарёву Александру Григорьевичу присвоено звание Героя Советского Союза (посмертно).

Похоронен на окраине города Сохачев.

Именем Героя названы улицы в поселках Курагино и Большая Ирба. Его имя занесено в список погибших воинов на обелиске в селе Уральское.

Награжден орденами Ленина (27.02.1945), Красной Звезды  (9.08.1944), медалью.

В ходе операции 3-й танковый корпус, введенный в прорыв севернее Ковеля (Волынская область Украины), 22 июля форсировал реку западный Буг, вышел на польскую территорию и 23 июля ворвался в город Люблин, освободив этот крупный железнодорожный узел, освободил фашистский лагерь смерти Майданек, 25 июля вышел к Висле и освободил город Пулавы. Так как переправочных средств для переброски танков через реку не было, корпус повернул на северо-запад, и, двигаясь вдоль правого берега Вислы, вышел на подступы к предместью Варшавы – Праге. Здесь взял города Калушин и Воломин, 30 июля прорвал оборону противника и перерезал шоссе Варшава – Белосток. 31 июля корпус перешел к обороне. 1 августа  противник  предпринял на участке корпуса контрнаступление контрнаступление силами дивизий «Викинг», «Мертвая голова». «Герман Геринг», имевших в своем составе более 200 танков. 50-я и 51-я танковые бригады оказались в окружении, однако вырвались из вражеского кольца, соединились с 103-й  танковой бригадой корпуса  и остановили продвижение врага.  В конце августа 3-й танковый корпус, находясь в оперативном подчинении 47-й армии,  нанес удар по группировке противника северо-восточнее Варшавы и 16 сентября вместе с другими соединениями армии участвовал в освобождении Праги. Затем был выведен из боев и сосредоточен в районе города Минск-Мазовецки.
Механик–водитель танка Т-34 старший сержант А.Г.Бочкарев в боях за город Воломин (Повят-Воломиньский, Мазовецкое воеводство) и деревню Дучки (восточнее города Воломин)  гусеницами своего танка давил немецкую пехоту. Его танк подбил 3 танка типа «Пантера». Был награжден орденом Красной Звезды.

В составе 2-й гвардейской ударной армии А.Г.Бочкарев участвовал в Варшавско-Познанской наступательной операции – составной части Висло-Одерской стратегической операции.

Варшавско-Познанская операция началась 14 января 1945 года. 2-я гвардейская танковая армия была введена в прорыв с Магнушевского плацдарма в полосе 5-й ударной армии. Соединения 26-го гвардейского стрелкового корпуса этой армии захватили плацдарм на левом берегу реки Пилица. 15 января передовой отряд 9-го гвардейского танкового корпуса в составе 47-й гвардейской танковой бригады, 369-го самоходного артиллерийского полка и сапёрной роты переправился через реку, обогнал пехоту и атаковал противника. После ожесточённой схватки к вечеру 15 января он взял населённый пункт Груйец и начал наступать на Мщонув. Утром 16 января отряд взял Мщонув, а к вечеру 16 января – Жирардув. В 23 часа 16 января 2-й батальон 47-й гвардейской танковой бригады ворвался в город Сохачев на берегу реки Бзура и завязал там бой. Когда в процессе боя батальон был окружён, командир бригады гвардии полковник Н.В.Копылов приказал ему перейти к круговой обороне. Одновременно он ввёл в бой 1-й и 3-й батальоны, а батальону автоматчиков поставил задачу – прорваться к реке Бзура и захватить плацдарм на её западном берегу. Танкисты были поддержаны двумя залпами 126-го гвардейского миномётного дивизиона. К утру 18 января город Сохачев был взят.

Механик-водитель 3-го  танкового батальона 47-й гвардейской танковой бригады гвардии старшина А.Г.Бочкарев особо отличился в ходе этой операции.

Из наградного листа на присвоение звания Героя Советского Союза

В боях на нашу социалистическую Родину механик-водитель проявил исключительные образцы отваги, мужества и героизма.

В боях за города Груйец, Мщонув, Жирардув, Сохачев тов. Бочкарев показал исключительно образцовое выполнение приказов командования. В боях тов. Бочкарев раздавил 4 пулеметных расчета, 5 орудий, 7 бронетранспортеров и 17 автомашин с  пехотой и военным имуществом. Сражаясь в бою, тов. Бочкарев два раза тушил под огнем противника подожженный танк. С горящего танка снял пулемет и сражался до последнего патрона. Будучи сам ранен, не отходил от тела убитого командира, охраняя его и свой танк.
Тов. Бочкарев, отбиваясь от окруживших его немцев, бросил гранату между собой и немцами и умер со словами: «Гвардеец не сдается».

Достоин высшей правительственной награды – звания «Герой Советского Союза».

Командир 3-го танкового батальона гвардии майор Андросюк