Родился 19 декабря 1920 года в городе Камень-на-Оби ныне Алтайского края в семье рабочего. Русский. Окончил 7 классов, работал в Сибирской геологоразведочной партии. Призван на действительную срочную службу в армию в сентябре 1940 года Каменским райвоенкоматом.

Во время Великой  Отечественной войны с июня 1941 года. Сражался на различных фронтах, в том числе с июля 1943 года – в 34-й гвардейской стрелковой дивизии на Южном, 4-м, 3-м, 2-м, снова 3-м Украинских фронтах.

На Южном (с 20 октября 1943 года – 4-м Украинском) фронте в составе 5-й ударной армии участвовал в Миусской наступательной операции (17 июля – 2  августа 1943 года); Донбасской наступательной операции – прорыве обороны противника на реке Миус и полном освобождении Донбасса, в том числе города Енакиево, за что 34-я гвардейская стрелковая дивизия получила наименование Енакиевской; Мелитопольской наступательной операции (26 сентября – 5  ноября 1943 года – разгроме 6-й армии немецкой группы армий «А» на рубеже реки Молочная и освобождении Северной Таврии.

Гвардии ефрейтор, номер противотанкового ружья отдельного гвардейского учебного стрелкового батальона 34-й гвардейской  стрелковой дивизии А.И.Бирюков в бою за село Верхний Рогачик ныне Херсонской области (Украина) 6 ноября 1943 года при выходе из строя командира отделения принял командование до полного отражения танковой атаки. После выхода из строя номеров противотанкового ружья сам взял ружье и вел огонь по наступающим танкам. Был награжден медалью «За отвагу».

На 3-м Украинском фронте в составе 46-й армии участвовал в Никопольско-Криворожской наступательной операции (30 января – 29 февраля 1944 года); Березнеговато-Снигирёвской наступательной операции (6 – 18 марта 1944 года); Одесской наступательной операции (26 марта – 14 апреля 1944 года).

В ходе последней операции войска 46-й армии вместе с другими армиями фронта громили причерноморскую группировку немецко-румынских войск в междуречьи  Нижнего Буга и Днестра и к концу операции вышли к Днестру юго-восточнее Тирасполя, захватив плацдарм на Днестре в районе села Раскаецы (Рэскэець) – ныне в Штефан-Водском районе Республики Молдова.

Гвардии сержант А.И.Бирюков отличился в боях по удержанию и расширению плацдарма у села Раскаецы.

Действовал в составе группы из 10 гвардейцев под командованием гвардии лейтенанта Б.С.Васильева-Кытина, которая  умелым маневром захватила важную  высоту в районе этого села и удерживала ее в течение 36 часов, отразив 17 атак и истребив при этом 250 солдат и офицеров противника. При этом в условиях недостатка боеприпасов использовала трофейное оружие, добытое при захвате высоты. А.И.Бирюков в этих боях лично уничтожил не менее 20 солдат противника, в том числе в ходе рукопашных схваток.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 13 сентября 1944 года за мужество и героизм, проявленные в боях на Днестровском плацдарме, гвардии сержанту Бирюкову Александру Ивановичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 4863).

Этим Указом звание Героев Советского Союза присвоено всем 10 гвардейцам группы во главе с Б.С.Васильевым-Кытиным.

В дальнейшем А.И.Бирюков участвовал в Ясско-Кишиневской стратегической наступательной операции  (20 – 29  августа 1944 года); Дебреценской наступательной операции (6 – 28  октября 1944 года); Будапештской стратегической наступательной операции (29 октября 1944 – 13  февраля 1945 года); Венской стратегической наступательной операции (16 марта – 15 апреля 1945 года); Пражской стратегической наступательной операции (6 – 11 мая 1945 года).

В 1947 году гвардии старшина А.И.Бирюков был демобилизован. Жил и работал в городе Люберцы Московской области.

Скончался 14 декабря 1973 года. Похоронен в Люберцах на Старом кладбище.

Награжден орденом Ленина (13.09.1944), медалями, в том числе двумя «За отвагу» (19.11.1943; 21.04.1944).

Гвардии сержант Бирюков – участник 36-часового боя в группе гвардии лейтенанта Васильева-Кытина, которая, имея в своем составе 10 гвардейцев, отразила 17 атак гитлеровцев и истребила при этом 250 солдат и офицеров противника.
Группа умелым маневром в условиях ожесточенного сопротивления врага заняла важную высоту на правом берегу Днестра и, несмотря на численное превосходство немцев, сумела полностью ее закрепить за собой. Гвардейцы захватили при этом следующие трофеи: винтовок 45, автоматов 38, пулеметов 5.
В условиях весьма ограниченной подброски боеприпасов все бойцы в течение трех десятков часов вели непрерывный огонь по противнику, умело используя как свое, так и добытое на поле боя оружие врага.
За время 36-часовой схватки сержант Бирюков проявил беспримерную храбрость и мужество. 16 апреля, прорвавшись одним из первых к вершине высоты, Бирюков оказался в гуще немцев и лицом к лицу столкнулся с тремя гитлеровцами. Он сумел одного расстрелять в упор, а с двумя другими завязал рукопашный бой, причем одного гитлеровца ранил, а затем добил прикладом, а последнего после упорного единоборства зарезал ножом.
Вторично Бирюков проявил себя в рукопашной схватке 17 апреля, где убил четырех гитлеровцев.
За 36 часов боя Бирюков убил 20 гитлеровцев. Он превосходно действовал всеми видами стрелкового оружия. Особенно искусно он действовал в момент отражения шестой контратаки. Бирюков разложил на бруствере траншеи несколько немецких автоматов и две винтовки. Отражая контратаку, он поочередно переходил от одного вида оружия к другому и вел прицельный огонь по немцам. Таким образом, он держал в течение нескольких часов немцев под сплошным огнем, демонстрируя наличие не одного, а нескольких человек.
В своей роте тов. Бирюков является запевалой и вдохновителем многочисленных вылазок в тыл немцев. Лишь в наступательных боях с зимы-весны 1943-1944 года Бирюков семь раз побывал в тылу противника и неоднократно со своими бойцами оставался в засадах, уничтожая отходящих гитлеровцев.
В бою тов. Бирюков храбр, стоек; в полку считается одним из лучших мастеров рукопашного боя.

Достоин присвоения звания Героя Советского Союза.

Командир 105 гвардейского стрелкового полка подполковник Артамошин
21 мая 1944 года