Родился 23 октября 1922 года в Казани (ныне Республика Татарстан) в семье служащего. Русский. С 1929 года жил в городе Чистополь, где окончил среднюю школу. С 1938 года учился в аэроклубе. Окончив аэроклуб, работал в нем инструктором-летчиком. Призван в армию в 1941 году Чистопольским райвоенкоматом. Окончил Ульяновскую военную авиационную школу пилотов в 1943 году.

Во время Великой Отечественной войны в действующей армии – с 1 ноября 1943 года. Сражался на 1-м и 4-м Украинских фронтах в качестве летчика-штурмовика в 637-м штурмовом авиационном полку 227-й штурмовой авиационной дивизии.

На 1-м Украинском фронте в составе 2-й воздушной армии участвовал в Киевской наступательной (3 – 13 ноября 1943 года) и оборонительной (13 ноября – 22 декабря 1943 года) операциях; освобождении Киева; в разгроме фашистских войск и освобождении Правобережной Украины – Житомирско-Бердичевской (24 декабря 1943  –  14 января 1944 года); Корсунь-Шевченковской (24 января – 17 февраля 1944 года); наступательных операциях; освобождении Западной Украины и Польши  –  Проскуровско-Черновицкой (4 марта – 17 апреля 1944 года);  Львовско-Сандомирской стратегической наступательных операциях (13 июля – 29 августа 1944 года).

На 4-м Украинском фронте в составе 8-й воздушной армии участвовал в Восточно-Карпатской стратегической наступательной операции (8 сентября – 28 октября 1944 года) – в  преодолении Карпат и освобождении Закарпатской Украины;  в Западно-Карпатской наступательной операции (12 января – 18 февраля 1945 года) и освобождении южных районов Польши; в  освобождении Чехословакии в ходе Моравска-Остравской наступательной операции (10 марта – 5 мая 1945 года) и Пражской стратегической наступательной операции (6 – 12 мая 1945 года).

К 18 мая 1944 года совершил 107 успешных боевых вылетов на самолете Ил-2 на бомбардирование и штурмовку скоплений войск и боевой техники, стратегических военных объектов, артиллерийских позиций, железнодорожных станций и аэродромов, укреплений противника на переднем крае при поддержке наступательных действий наземных войск. Лично уничтожил 27 танков,  100 автомашин, до 150 солдат и офицеров противника,  создал 40 очагов пожара, лично сбил в воздушном бою истребитель противника Ме-109.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 26 октября 1944 года за отвагу и мужество, проявленные при нанесении штурмовых ударов по врагу, младшему лейтенанту  Калашникову Анатолию Степановичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№  2753).

К концу войны командир эскадрильи старший лейтенант А.С.Калашников совершил более 120 успешных боевых вылетов.

После войны продолжал службу в Военно-Воздушных Силах Советской Армии. В 1949 году окончил Военно-воздушную академию. С 1960 года подполковник А.С.Калашников –  в запасе. Жил в Минске (ныне Республика Беларусь).

Скончался 25 июня 1985 года.Похоронен на Северном кладбище города Минска.

Награжден орденами Ленина (26.10.1944), Красного Знамени (1.02.1944), Александра Невского (11.09.1944), 2 орденами Отечественной войны 1-й степени (29.03.1944; 11.03.1985), орденом Отечественной войны 2-й степени (19.02.1945), Красной Звезды, медалями.

В Чистополе на здании средней общеобразовательной школы № 1, где учился Герой, установлена мемориальная доска.

За короткий период боевой работы младший лейтенант Калашников проявил себя как один из лучших молодых летчиков-штурмовиков, умело и отважно громящих врага и наносящих ему большие потери.

За время боевой деятельности на 1-м Украинском фронте младший лейтенант Калашников участвовал в операциях по уничтожению танковых и мотомеханизированных частей противника в районах Брусилов, Коростышев, Радомышль в ноябре-декабре 1944 года, в наступательных боях 1-го Украинского фронта по освобождению городов Житомир, Бердичев, Коростышев, Коростень, Брусилов, Радомышль,  Белая Церковь; в боях по отражению контрнаступления противника в районе Прилуки, Турбов; в разгроме Корсунь-Шевченковской группировки противника и отражении контрнаступления войск противника, идущей на помощь окруженной немецко-фашистской группировке.

Особенно активно и напряженно младший лейтенант Калашников работал в период наступательных операций наших войск в районе Староконстантинов, Винница, Проскуров, Тарнополь, в боях по уничтожению окруженного гарнизона противника в городе Тарнополь и группировки противника в районе Дудаевцы, Скалат, Чертков, Бучач, а также в боях на Станиславском направлении.

Вступив на боевой путь рядовым летчиком, младший лейтенант Калашников показал отличное летное мастерство и боевые качества отважного летчика-штурмовика и был назначен на должность заместителя командира эскадрильи. Получив за время боевой работы богатый опыт штурмовых ударов и маршрутных полетов, младший лейтенант Калашников стал ведущим групп штурмовиков. Из общего количества боевых вылетов, произведенных Калашниковым, в 40 вылетах он был ведущим.

В период контрнаступления в районе Радомышль-Коростень противника, стремившегося прорваться в направлении на  Киев, в боях по разгрому танковых и мотомеханизированных сил противника младший лейтенант Калашников получил первую боевую закалку.

25.11.43 года Калашников в группе из 7 самолетов Ил-2 наносит штурмовой удар по крупной колонне танков и автомашин на дороге Хомутец – Брусилов. Мощным огнем пушек и пулеметов и бомбометанием, несмотря на сильный огонь зенитной артиллерии, штурмовиками были нанесены большие потери в технике и живой силе противника. Лично Калашниковым было уничтожено 2 танка, 1 автомашина и рассеяно до взвода пехоты противника. Отличные результаты работы штурмовиков в этот вылет по уничтожению танков и автомашин были отмечены в телеграмме командующего армией генерала Москаленко.

4.12.1943 года на этом же участке фронта, действуя парой «охотников» по тылам противника, Калашников в условиях плохой погоды неожиданными смелыми действиями атакует железнодорожный эшелон противника на станции Попельня и, несмотря на сильный заградительный огонь вражеских зениток, создает взрыв эшелона, а на обратном маршруте, обнаружив бензозапрвочную базу противника, поджигает ее огнем пушек и пулеметов.

С начала решительного наступления войск 1-го Украинского фронта на участке Коростышев, Радомышль, Коростень младший лейтенант Калашников активно участвует в штурмовых операциях, поддерживая наступление наших войск и нанося большие потери врагу.

23.12.43 года при выполнении боевого задания в составе 5 самолетов Ил-2 по уничтожению скопления отступающих войск и техники противника младшим лейтенантом Калашниковым была обнаружена колонна танков противника, двигающаяся по дороге Вересы – Городище. Получив по радио сообщение от Калашникова, ведущий атаковал колонну и тремя заходами нанес ей большие потери.

В напряженных боях по ликвидации контрнаступления противника в районе Прилуки, Турбов в январе 1944 года Калашников принимал активное участие.

16.1.44 года Калашников в группе штурмовиков в момент атаки танков противника в боевых порядках, готовившихся к наступлению на наш передний край, был атакован четырьмя ФВ-190. Вместе со своим стрелком Калашников отважно и умело отражал атаки численно превосходящего противника, продолжая выполнять боевое задание. Точно сбросил бомбы на танки противника. Истребители противника непрерывно атаковали самолет Калашникова. Перейдя на бреющий полет, он пушечно-пулеметным огнем вел бой с вражеским самолетом. Вместе с ним тяжело раненый стрелок пулеметными очередями отгонял истребителей противника. Несмотря на повреждения самолета (перебитое управление элеронами, пробитые рули направления и глубины), Калашников под непрерывным огнем противника перетягивает самолет на свою территорию, производит посадку на ближайшем аэродроме для оказания медицинской помощи раненому стрелку и через некоторое время приводит самолет на свой аэродром.

24.1.1944 года в составе группы из 4 самолетов Ил-2 Калашников участвовал в массированном штурмовом ударе по сосредоточению крупных сил противника в населенных пунктах и на дорогах в районе Прилуки, Турбов. При выходе из атаки штурмовики встретились с 15 Ю-87 и 12 истребителями противника Ме-109, Ме-110 и ФВ-190. По команде ведущего Калашников атакует самолеты Ю-87. Стремительной атакой бомбардировщики противника были рассеяны, а с истребителями завязался ожесточенный бой, в результате которого группой было сбито 1 ФВ-190, 1 Ме-110 и 5 Ме-109, что подтверждается истребителями прикрытия 32 ИАП.

29.1.44 Калашников в составе группы Ил-2 производил атаку танков и автомашин. В районе цели группа штурмовиков была атакована истребителями противника в количестве до 20 единиц. На самолет Калашникова напало 2 ФВ-190 и 1 Ме-109. Умело маневрируя и отражая  атаки воздушного противника, экипаж Калашникова сбил  1 Ме-109. Несмотря на противодействие истребительной авиации противника, боевая задача была выполнена. Экипажем Калашникова были уничтожены 1 танк. 1 бронетранспортер, создан 1 очаг пожара.

С началом наступления наших войск на участке Винница, Староконстантинов, Проскуров младший лейтенант Калашников участвует в боевых операциях по поддержке наших войск и уничтожению подходящих резервов противника. С развитием наступления он участвует в штурмовых ударах в районах Винница, Проскуров, Ярмолинцы, Староконстантинов, Дунаевцы, Скалат.

Группой, в которой находился Калашников, противнику были нанесены большие потери. С помощью активной поддержки штурмовиков наземные войска прорвали оборону противника и заняли несколько населенных пунктов. Боевые действия штурмовиков поучили высокую оценку Главного Маршала авиации Новикова.

В боях по ликвидации окруженного вражеского гарнизона в городе Тарнополь, ликвидации окруженной группировки противника в районе Чертков, Бучач, Золотники и отражении контрнаступления противника на Тарнопольском направлении младший лейтенант Калащников неоднократно водил группы штурмовиков, нанося ему большие потери. Делая по 3 – 4  боевых вылета в день, Калашников  вел напряженную боевую работу в районе Бучач, Подгайцы.

За время работы на 1-м Украинском фронте младшим лейтенантом Калашниковым уничтожено 27 танков, свыше 100 автомашин, создано 40 очагов пожара. уничтожено более 150 солдат и офицеров противника, сбит в воздушном бою 1 самолет Ме-109.

За период с 15 апреля. по 3 мая 1944 года эскадрильей под его командованием произведено 50 успешных боевых вылетов, уничтожено 18 танков, 29 автомашин с грузом и войсками, 4 самолета на земле, 1 склад боеприпасов, 4 точки зенитной артиллерии, создано 13 очагов пожара, уничтожено до 50 солдат и офицеров. Потери эскадрильи за это время – 2 самолета и 1 экипаж.

За произведенные 107 эффективных боевых вылетов, уничтоженную эскадрильей  технику и живую силу противника – 18 танков, 29 автомашин, 1 склад боеприпасов, 4 точки зенитной артиллерии,  4 самолета на земле, до 50 солдат и офицеров, лично уничтоженную технику противника: танков – 27,  автомашин – 100, солдат и офицеров – 150,  созданные 40 очагов пожара, лично сбитый в воздушном бою самолет противника Ме-109, за отвагу и мужество, проявленные в воздушных боях и над целью, решительные и умелые действия  достоин правительственной награды – звания «Герой Советского Союза».

Командир 637 штурмового авиационного полка подполковник Басенко
18.5.1944 года